max與min函式的機率分佈思考

@(機率論)

給定一樣本序列則：

max(X1,X2,...,Xn)≤a⟺X1≤a,X2≤a,...,Xn≤amax(X1,X2,...,Xn)≤a⟺X1≤a,X2≤a,...,Xn≤a

min(X1,X2,...,Xn)≥a⟺X1≥a,X2≥a,...,Xn≥amin(X1,X2,...,Xn)≥a⟺X1≥a,X2≥a,...,Xn≥a

即：最大值小於時，則表示碰到天花板，每一個元素都是在天花板下，即，每一個都小於這個極限值。

最小值大於時，則每個元素都將大於這個底線值。

這是關於max，min的最基本的知識儲備。

因此：

P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)=P(X1≤a,X2≤a,...,Xn≤a)P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)=P(X1≤a,X2≤a,...,Xn≤a)

P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)=P(X1≥a,X2≥a,...,Xn≥a)P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)=P(X1≥a,X2≥a,...,Xn≥a)

這是可以直接求解型別。

而，

P(max(X1,X2,...,Xn)≥a)=1−P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)P(max(X1,X2,...,Xn)≥a)=1−P(max(X1,X2,...,Xn)≤a)

特別注意轉化時是以max這一整塊為單位的。

同理：

P(min(X1,X2,...,Xn)≤a)=1−P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)P(min(X1,X2,...,Xn)≤a)=1−P(min(X1,X2,...,Xn)≥a)

max不能轉化到min，這是需要注意的細節。一定都是隻在min或者max自己的範圍內進行。也就是說max,min只是一種關係，設這種關係是f(x),

則:

P(f(x)≤a)=1−P(f(x)>a)P(f(x)≤a)=1−P(f(x)>a)

P(f(x)≥a)=1−P(f(x)<a)P(f(x)≥a)=1−P(f(x)<a)

道理是一模一樣。

然後根據最小值大於某值，則根據底線思維，每個值都大於這個值，再根據變數之間的獨立性，拆開成多份。

最大值小於某隻，根據上限思維，每個值都小於這個值，再根據變數之間的獨立性，拆開成多份。