​如果讀過他的隻言片語，我們的物理教育就會省去許多的令人困惑。

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

If he (Clifford) had lived we might have known something.

——Robert Tucker

摘要 克利福德是十九世紀英國的天才數學家，他開創的幾何代數為現代物理和數學提供了緊緻優雅地表述以及開疆拓土的工具。他是一位無與倫比的哲學與自然科學的表述者，其文章字字珠璣，於細微處皆見大學問。他對幾何學這門關於空間的自然科學的深入思考，短短几句話就定義了微分幾何、廣義相對論、規範場論的主調。

01 克利福德小傳

克利福德(William Kingdon Clifford, 1845-1879)，物理學家+數學家+哲學家+作家型的通才，一個路過人世僅僅34年的天才 (圖1)。克利福德1845年出生於英國西南部的埃克塞特, 15歲考上倫敦國王學院和劍橋三一學院，1867年在劍橋大學著名的tripos(三角凳)考試中獲得了爭辯者第二(second wrangler)的優異排名，1868年當選劍橋三一學院的follow。1871年，克利福德在26歲上獲聘倫敦學院大學(London College university)數學與力學教授，1874年在29歲上當選英國皇家學會會士(member of royal society)，1875年當選形而上學學會會士。克利福德在對格拉斯曼之擴充套件的學問(Ausdehnungslehre. 格拉斯曼在其中曾提出16種乘法) 以及哈密頓的四元數深入研究的基礎上建立起了幾何代數，即以他的姓名命名的克利福德代數。本文提及的關於幾何積的系統學問，源於他1878年發表的題為“格拉斯曼擴充套件代數之應用”論文。克利福德是頂級的物理學家，他的《動力學原本》光看其副標題an introduction to the study of motion and rest in solid and fluid bodies就足以理解動力學的內涵。那個讓愛因斯坦變得偉大的“引力是時空幾何的表現”之思想也來自克利福德，他於1876年在“on the space-theory of matter”一文中已確立了廣義相對論的主導思想，而他在《精確科學的常識》一書中關於空間的幾句論述簡直就是規範場論和微分幾何的大綱。他在哲學論述中提出的mind-stuff(思維原料)這一概念，可能震撼過很多人。

克利福德的學術成就，僅從他的著作列表人們就能獲得大致的感覺。克利福德著作如下：

論道德的科學基礎 (On the scientific basis of morals)，1875.

動力學原本 (Elements of Dynamic)，1879-1887.

見與思 (Seeing and Thinking)，1879.

講義與散文集 (Lectures and Essays)，1879.

數學散篇 (Mathematical fragments)，1881.

數學論文 (Mathematical Papers)，1882.

精確科學的常識 (The Common Sense of the Exact Sciences)，1885.

其實，不同於這些書，克利福德的四篇短文章，1870年的“On the space theory of matter”(物質的空間理論)，1872年的 “On the aims and instruments of scientific thought(論科學思想的目的與傳播)”，1877年的The Ethics of Belief(信仰的倫理)，1878年的“Applications of Grassmann's Extensive Algebra(格拉斯曼擴充套件的學問之應用)”，才是更具震撼性的。其中，物質的空間理論奠定了廣義相對論的思想格調，而格拉斯曼擴充套件的學問之應用則產生了一個更加系統、更加深刻的新代數。

順便說一句，克利福德1875年結婚，婚後育有兩個孩子。克利福德喜歡孩子，關注兒童教育，在1874年還是單身的時候就為孩子們寫下了一些童話，收錄於 “the little people and other tales(小人兒與其它童話)”。

克利福德被譽為思維極度敏銳且具有偉大原創精神的人(un homme d'une extraordinaire perspicacité et d'une grande originalité)，而且詩人氣質十足。他也是是為數不多的被自己的天才累垮了的人。此外，他還是一個喜歡逗孩子的人，一個敢冒險的人，據說他曾用腳指頭把自己倒吊在教堂尖塔的鐵公雞上。

圖1. 伏案工作的克利福德

02 克利福德的數學成就

克利福德是那種天才的數學家，26歲就當上了數學教授。克利福德對同時期英倫以及歐洲大陸重要數學家的工作都瞭如指掌，完美地演繹了豐沃學術土壤上的傳承與創新。他1873年關於雙四元數、1882年關於幾何代數分類以及1877年關於黎曼面的工作都是經典之作。克利福德1878年關於德國人格拉斯曼擴充套件的學問的應用，是數學、物理史上的一個里程碑。

1878年的克利福德對哈密頓的四元數 (Lectures on quaternions, 1853；Elements of quaternions, 1866) 已學有所成，但他坦誠剛接觸格拉斯曼擴充套件的學問(Ausdehnungslehre 1844；Ausdehnungslehre 1862) 沒幾天，不過他對格拉斯曼的工作給予了高度評價：“我對那個非凡的工作記為讚賞，我堅信它的原理會為數學的未來帶來廣泛的影響(I may, perhaps, therefore be permitted to express my profound admiration of that extraordinary work, and my conviction that its principles will exercise a vast influence upon the future of mathematical science.)”克利福德說對了，而且是透過自己的工作讓自己的斷言變得無比正確的。

圖2. 這推的人是在做功呢還是在產生力矩呢？

03 克利福德的物理學成就

克利福德的人生只有短短的34年，且成為了一流的數學家，因此他即便熱衷物理，其投入物理研究的時間也不可能多。但是，對於天才來說，成就不是用投入精力的多少來衡量的。作為一個一流數學家，克利福德對數學家認識世界的侷限有清醒的認識，“數學家不能夠對當前力學教科書中使用的物質、力、慣性之類的語言賦予意義(No mathematician can give any meaning to the language about matter, force, inertia, used in current text-books of mechanics)。”也因此，克利福德將一些寶貴的時間用於物理學的闡釋與研究，他的隻言片語都比所謂職業物理學家有更高的物理素養，都更有深度、意義與價值。克利福德有過人的教導他人的本領，是清晰的表達者、令人歎服的演講者。

克利福德留下一本物理教科書，《動力學原本》(elements of dynamic)，開篇短短的幾句話就把力學的那點家底兒交代清楚了。描述運動的學問叫動理學，kinematic (κινυμα, motion), 分為點粒子的平動(translation)，剛體的轉動 (rotation) 與繞動 (twist，即 translation + rotation)，以及彈性體的形變 (strain); 而根據力的規則如何計算運動的學問叫動力學，dynamic (δύναμις, force)，分為描述靜止情形的static(靜力學)和發生運動情形的kinetic (運動學)（注：其實kinetic 才是動力學。Static 不是kinetic的對立面 ）。Static是kinetic的特例。無須多深入，筆者即已佩服得五體投地。無法詳細介紹這本書，我就把這本書的謀篇列在這裡，大家看看結構吧。《動力學原本》分成三部分，

Book I. Translations, chapter 1：steps；chapter 2: velocities；chapter 3: General orbits.

Book II. rotations, chapter 1 只有一小節：steps of a rigid body；chapter 2: velocity-systems；chapter 3. Special problems.

Book III. Strains, chapter 1. strain-steps; chapter 2. strain-velocities.

Step是指由平動造成的位置改變，這個概念在後來的力學書裡沒有了。關於力學，從質點的kinematic開始到質點與剛體的dynamic，然後是彈性體的strain, 如果願意的話可以接下來研究hydrodynamic和aerodynamic, 可以說是邏輯清晰。真心希望我國的力學人才培養體系能注意到這本書的存在。

在一篇1880年由他人整理發表的題為“能量與力”的文章中，克利福德再一次體現了他作為一流數學家對物理基本概念的深刻與清晰。茲摘錄幾句，以饗讀者。“不談論關於動量的定律就不足以解釋力(Force cannot be explained without stating a law of nature concerning momentum)”，“動量變化依賴於相對其它物體的位置變化”，強調力不是孤立的因素，由此可引向機械能守恆；“動能是動量被攜帶的速度(energy of motion is the rate at which momentum is carried along)”，這句談論的是pv，即活力(vis viva)。能量守恆定律的意義在於“能量守恆是無價的負面定律。它讓我們以絕對的把握去拒絕無數的、因為好像能解釋自然的複雜性而看起來有些誘人的假說(It is invaluable as a negative law. It enables us to reject with absolute certainty countless hypotheses that would otherwise be temptingly appropriate to elucidate the complexities of nature)。”這些讀來都有醍醐灌頂的效果。

當然，僅僅詮釋物理不足以奠定一個人物理學家的地位，創造了物理學才算。克利福德憑藉1870年的“論物質的空間理論 (On the space theory of matter)”一文就足以廁身有思想的偉大物理學家之列。此文不過寥寥三百餘字，大意如下。黎曼說有不同的三維空間，我們只能用經驗找出我們到底生活在什麼樣的三維空間。平面幾何的公理適用於紙張，但紙張真有褶子，遇到褶子這平面幾何公理就不成立了。對三維空間立體幾何公理在實驗範圍內成立，但也未必對任何拐角都成立。克利福德說，這啟發他想到，為了解釋物理現象，也許可以認為對任何小的空間範圍，立體幾何公理都不成立。如此看來，1. 如同大體平直的地面上存在起伏的山丘，存在小的空間區域，其中一般的幾何規律是不成立的；2. 這種空間被彎折或者扭曲的性質如同波一樣從一處傳遞到另一處；3. 空間曲率的變化發生在物質的運動中，不管這物質是重物還是類以太的那種；4. 物質世界裡只有這種曲率的變化，當然啦要滿足連續性。熟悉廣義相對論的人都知道，後來廣義相對論的描述幾乎從未脫離這篇短文的框架。克利福德是第一個認識到引力可以用變曲率空間加以模型化的人。

1879年3月3日克利福德辭世，1879年3月14日愛因斯坦誕生。

展現克利福德驚人的概念清晰的，是他的《精確科學的常識》(The common sense of the exact science, second edition)一書， 包括number, space，quantity, position和motion五章, 據說原計劃還有mass一章，但因為克利福德早逝, 可惜未能如願完成。也難怪人們感嘆：“If he had lived we might have known something.”

此書開篇第一章談論number，認識之深刻就可見其後來成就的必然。克利福德從最基本的地方開始思考，提取數的乘法有交換律和結合律。在對interchange和alternation這些在量子物理、場論中的關鍵概念進入思考。定義是要依據操作的，或者物理現實的。其實考察乘法發生的簡單自然過程，會發現有些乘法是操作(operation)作用於物件的那種(不怕你笑話，我是大三學量子力學才第一次聽說operator, operation，後來很晚才聽說operand的)。把減仍當作是加，數字就有了方向，就有了負數。負數之間的乘法該有相應的物理才不會是nonsense。這帶來困擾，但也會提升我們的能力。我們發明的每一個operation都相當於問一個問題，這些問題可能有也可能沒有答案。如果對於沒有答案的情形我們把問題的答案形式地寫下來，並且談論它們，好像它們意味著點什麼似的，我們就可能是在那裡瞎扯 (talk nonsense)。但是這些瞎扯不可以當垃圾丟棄。我們可以擴充套件，概念 (詞語) 意義的逐漸擴充套件可能是最有力的研究工具，當然也以同問題成比例的謹慎對待之。這一段可看作是克利福德一生的人生哲學和工作信條，他最偉大的成就，提出幾何代數，恰是在格拉斯曼《擴充套件的學問》基礎上把內積和外積給寫到一起。

格拉斯曼最終成了幾何代數之父，他對幾何之基礎的認識太深刻了。筆者簡短地讀了space一章的幾段，都有要落淚的感覺。“幾何是一門自然科學 (GEOMETRY is a physical science)。點不是小到無窮的粒子，而是線之相鄰兩部分的邊界，而線是面之相鄰兩部分的邊界，而面是空間之相鄰兩部分的邊界。點是我們可見和可知的事物，不是我們在思想裡構造的抽象。”這顛覆了我一貫閱讀來的知識，而我選擇接受他的觀點。“只有當我們有可以隨處攜帶且被攜帶到任何地方都不會改變其長度的測量桿時，測量距離才是可能的。” “如果我們假設(1)不同物體經歷相同的改變；(2)任何物體被帶回到遠處時佔據同樣的空間，則我們設想物體從一處挪動另一處時長度會發生改變也未嘗不可以。需要保證的是在一處吻合的兩個物體，哪怕是經過不同的路徑被帶到了別處，也是吻合的，除非有別的原因造成了相反的結果。”…..“不過，有可能長度確實僅僅是因為挪到別處就改變而我們一無所知嗎(Is it possible, however, that lengths do really Change by mere moving about, without our knowing it？) ” 這段簡短的敘述，規範場論和微分幾何的思想全在裡面了。我很好奇，外爾、列維-齊維塔是否確實讀過這一段！

04 克利福德的哲學 科學方法論

克利福德是深刻的哲學家，他在30歲上當選英國形而上學 (metaphysics，字面意思為後物理學) 學會會士。克利福德這樣的哲學家，個人認為同型號的有後來的英國人羅素、彭羅斯和德國人外爾等，他們的哲學思想是在創造過數學、物理的具體實踐基礎上的言之有物，是能寫入人類智慧史的。

克利福德是受斯賓諾莎影響的自由主義者，他為那些不屑於學點兒數學與物理的哲學家們所喜愛的概念創造有mind-stuff (思維原料) 和tribal-self (部落自我，出自1875年的On the scientific basis of morals)。在《信仰的倫理》(The Ethics of Belief）一文中，克利福德指出，“頭腦的單純，地位的卑微，都不能讓我們逃避詰問我們信仰的普遍義務 (No simplicity of mind, no obscurity of station, can escape the universal duty of questioning all that we believe) ”，“一言以蔽之，證據不足即相信，大謬也 (To sum up: It is wrong always, everywhere, and for anyone, to believe anything upon insufficient evidence)”一句。這後一句話的英文比較囉嗦，筆者更喜歡它的法文譯文 il était immoral de croire des choses sans preuve，據此譯為“未經證實就相信是不道德的”更加擲地有聲。當然了，這樣的科學家的信仰宣言是得罪人的。此文經常和美國哲學家詹姆斯（William James，1842-1910）1896年的《相信的意願》(The Will to Believe) 背靠背出版，算是人類文化史上的一件趣事。

對於數學家和物理學家來說，克利福德的哲學文字則是字字珠璣。“我們透過賦予那些能夠使得原先沒有答案的問題擁有答案之字詞或者符號以新的含義從而把荒唐轉化成意義。(We turn the nonsense into sense by giving a new meaning to the words or symbols which shall enable the question to have an answer that previously had not answer.) ”這是數學、物理創造者的經驗之談啊。讀讀格拉斯曼、哈密頓等人的著作，就知道他在說啥。

05 克利福德的童話

據說克利福德喜歡寫詩。按維基條目，克利福德創作有童話集The little people. 現存的文獻有一本Juliet Pollok 編著的The Little People And Other Tales (1874)，從書名看是1874年編纂的Juliet Pollok, William Kingdon Clifford, Walter Herries Pollok三人的合集。既然這個童話集是克利福德婚前一年就出版了的，可見克利福德確實就是一個喜歡孩子的人，不是有了自己的孩子才給孩子寫童話。這本書被後來的出版者譽為具有重要文化意義的歷史性著作，可惜因為一直找不到文字，恕筆者不敢置喙。據說當克利福德送給女小說家艾略特 (George Eliot, 1819-1880) 這本童話集時，書中還夾上一首小詩，最後四句可粗略如下：

Listen to this baby-talk: 聽那幼兒的呢喃

'Tisn't wise or clear; 自是懵懂、含混

But what baby-sense it has 可這幼兒的心事

Is for you to hear. 是讓你聽的啊。

06 多餘的話

研究克利福德的生平與學問，我一直琢磨他到底是如何讀書、如何研究、如何著述的，他畢竟只活了短短的34年啊。同樣是讀書人，這讀書人和讀書人的差別也忒大了點。想說說筆者對讀書境界的認識。一類讀書人的境界是過目成誦，英文說是有一雙eidetic eyes。野史雲，王安石向蘇洵誇讚自己的兒子王雱 “讀書只一遍，便能成誦”，被蘇洵回懟：“我還沒聽說過誰家孩子唸書要念兩遍的！”這種對幾乎沒有多少內涵的母語文字的快速把握雖然一般人做不到，但也不值一提(我承認我做不到，但我依然覺得瞧不上，我這麼做一點兒也沒有邏輯上的困難)。這讀書的第二重境界是讀一遍便能理解，並且還能融合自己的思想轉述與他人，類似某些天才音樂家，一首曲子聽一遍就能演奏，而且是用自己的理解天衣無縫地表現出來。克利福德這類人讀書，大概屬於我要說的第三重，就是對那些數學、物理、哲學方面的巔峰典籍看一遍即有深刻見解，並且還能做出突破性的發展。克利福德讀書若不是在這第三重境界，他的時間根本不夠。

作為一個當了多年學生和多年教師的人，關於教書和做學問，我多少有一些感慨。我覺得吧，作為教師，好學的姿態和不停學習的實踐是起碼的任職資格。因為我的一直不學無術，我作為教師只欠世界半個道歉，而我若一直固步自封，那我就欠世界一個半道歉，畢竟不學無術可能事關天資不足，是可以自我原諒的，而固步自封那就純屬思想問題了。

參考文獻：

1. William Kingdon Clifford, Applications of Grassmann’s extensive algebra, American Journal of Mathematics 1(4), 350-358(1878).

2. Robert Tucker (ed.), Mathematical papers by William Kingdon Clifford, MacMillan and Co. (1882).

3. William Kingdon Clifford, Elements of dynamic: an introduction to the study of motion and rest in solid and fluid bodies, MacMillan and Co. (1878-1887). (前後十年)

4. William Kingdon Clifford, Energy and force, Nature, June 10, 122-124(1880). (身後由 F. Pollock整理的)

5. William Kingdon Clifford, The common sense of the exact science, second edition, Kegan Paul, Trench & Co. (1886).

6. William Kingdon Clifford, The Ethics of Belief, Contemporary Review (1877).

7.William Kingdon Clifford, Seeing and Thinking, Macmillan and Company (1879).

8. Mansfield Merriman, Robert S. Woodward, William Kingdon Clifford, Prabhat Prakashan (2018).

9. Chris Doran, Anthony Lasenby, Geometric algebra for physicists, Cambridge University Press (2003).

10.D. Hestenes, Garret Sobczyk，Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics, Springer (1987).