目錄：

1 正比例和反比例的區別和聯繫？（6下）

2 什麼是函數？（8上）

3 方程與函數的區別與聯繫

4 一次函數和正比例函數（8上）

5 反比例函數（9上）

6 二次函數（9下）

之前翻過孩子的數學教科書（北師大版），感覺排版花裡胡哨，內容也雜亂不堪。最近拿起來仔細研讀，哎呦，真實冤枉教育專家了。

想要學好數學，最重要的就是主動思考。該版教科書以生活中的數學問題為導言，引發孩子學習章節知識的興趣，然後通過提出問題，促進孩子主動思考和討論，再闡述知識要點，最後通過隨堂練習和習題進行知識鞏固。而習題一般包括知識技能、數學理解和問題解決，也就是說，對概念的理解，對知識點的應用，都囊括在了習題中。

每個章節後面還有“回顧和思考”以及章節複習題。“回顧和思考”的問題更多以知識點歸納、整理和聯繫實際為主，可謂是用心良苦。複習題還增加了聯繫拓廣的內容，以滿足孩子多樣化的學習需求。總之，保守點講，如果能把書本的內容和習題全部吃透（回顧和思考的問題一定要認真做），至少能掌握考試內容的80%。

所以，學習數學，建議仍舊以教科書為主，然後做透一本練習冊和一套卷子，真的足夠了。學習數學，是很講究學習方法和學習技巧的，不需要大量刷題，但前提是，你得知道什麼樣子才叫“會學習數學”。

函數，是中考的重點，更是很多孩子最頭疼的問題。畢竟，它本身就很難理解，不僅涉及很多概念和性質、還跟圖像、位置有關，尤其以該知識點為中心，還可以連接數、方程、圖形與幾何、位置變換等多個知識點。如果對該內容掌握不牢固的話，基本就屬於放棄的題目。

但不要緊，如果你學不會函數，或是總會記差函數相關的知識點，不是因為你笨，而是你沒找到理解它的路徑。

記住，數學不是背的，是理解的。那接下來我們就一起開啟函數的學習之旅吧。

看上面的文章目錄，你就能發現，關於函數知識，教科書是按照難易程度逐漸釋放的，我把內容都串了起來，方便區別和聯繫，進而加深和鞏固理解。

01 正比例和反比例的區別和聯繫

看到這裡，你有什麼疑問嗎？

我的問題就是，上面的k，可以是負數嗎？畢竟，不管看教科書還是網絡，都沒有提到k不能是負數這回事。那如果k是負數，x或y肯定有一個也是負數。那麼，關於正比例和反比例的圖像就應該如下圖：

看到沒有，圖形特徵變了，已經不符合上面圖表的規律了。這可怎麼辦？聰明的讀者快來幫我解答吧。

02 什麼是函數？

函數的“函”，是“匣子、盒子”的意思。那麼，y是x的函數，指的是什麼呢？簡單來說，就是指“將x扔進盒子裡，然後y從裡面冒出來”。

有點感覺了嗎？

函數的重點在於：x是輸入，y是輸出，掌握主導權的始終是x。換言之，“y是x的函數”是指“y是由x決定的數”。

表示函數的方法一般有三種：列表法、關係式法和圖像法。

舉例：當秤砣掛在彈簧上時，秤砣的重量、對應的彈簧伸長量及彈簧的長度如下表所示。

1 用列表法表示：

2 用關係式表示：

設彈簧掛上秤砣的長度為y，秤砣的重量為x，得：

3 用圖像表示：

03 方程與函數的區別與聯繫

04 一次函數和正比例函數

b是截距，表示直線在y軸上的位置。

1 斜率是什麼？

斜率是節奏、是變化率，是一個圖像的變化節奏。在直角座標系中，斜率是直線的傾斜度。如小明跑100米，用了10秒，小紅跑100米，用了20秒，小明跑步的節奏就是10米/秒，小紅跑步的節奏就是5米/秒，即各自的速度了。

兩人跑步的距離和時間的關係，用函數表示，分別是：

小明：y=10x

小紅：y=5x

這裡面的5和10分別是兩個函數的斜率。

斜率=a=變化比例=y的變化量/x的變化量=（y2-y1）/（x2-x1）=（直角三角形）寬/長=夾角的度數。

2 一次函數的性質

05 什麼是反比例函數？

1 關於反比例函數的兩個錯誤認知

錯誤理解1:反比例，就是x增加的話，y減少的關係。

但是，不要忘記了，一次函數中，當斜率為負數時，x增加，y就會減少。

錯誤理解2：反比例函數是二次函數，因為它是曲線。

不是所有的曲線都是二次函數。如下圖，它是曲線，但卻不是二次函數。

2 反比例函數，是一種折中關係。

假設我的麵粉只夠做一張面積為500cm2的比薩（不考慮厚度），如果我想做一個很長的比薩，因為麵粉的量是固定的，所以，比薩的寬就必須縮短。

噢，這就是一種折中關係。如果用式子來表示的話，應該是長×寬=500。如果用函數表示的話，那麼：

也就是說，分母上的“長”越大，“寬”就越小。這種情況下，我們就說“長和寬成反比例關係”。

3 反比例函數是一次函數嗎？

它當然不是一次函數，因為無論是表達式，還是圖像，都不一樣。在高中數學裡，1/x，也可以寫作x-1，所以，反比例函數也可以稱為“負一次函數”。

4 反比例函數的性質

06 二次函數

1 二次函數由特殊到一般的表達式

2 二次函數一般式的性質

3 為什麼一元二次方程會有兩個解？

當二次函數y=0時，其實就是一元二次方程式的標準式ɑx2+bx+c=0。而且，當y=0時，x的值就是拋物線與x軸相交的點的值。

用二次函數來理解一元二次方程的兩個解，是不是超級容易啊！

4 三種表達式的區別和聯繫

5 兩個二次函數的對稱性

6 一次函數、反比例函數、二次函數的區別