在日常生活中，有一些現象按照一定的規律不斷重複出現，比如每週七天，從星期一開始，到星期日結束，總是以七天為一個迴圈不斷重複出現。我們把這種會重複出現的規律性問題稱為週期問題。
要解決這類問題，關鍵要抓住兩點：
①找出規律，找出週期。即多少個（次）又出現重複
②用總量除以週期，看餘數，餘幾就是週期裡的第幾個，沒有餘數就是最後一個。
例1．有一列數，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、
（1）第2009個數是多少？
（2）這列數字中，“2”會出現多少次
（3）這2009個數相加的和是多少？
解析：仔細觀察，這2009個數不是隨意排列的，每六個數重複一次，按1、4、2、8、5、7一個迴圈依次不斷重複出現排列的。週期找到了，接著用總量除以週期，把餘數與週期對比，很容易解答問題。
（1） 2009÷6=334…5，即重複了334次，還餘5個數，分別是1、4、2、8、5。所以第2009個數就是5
（2）（1、4、2、8、5、7）重複了334次，“2”也就出現了334次，再加上餘下的五個數中，“2”又出現了一次，所以，數字“2”總共出現了335次
（3）我們把2009個數按每一組（1、4、2、8、5、7）這樣分組，可以分成334組，還剩5個數，334組的數都相同，每組的和=1+4+2+8+5+7=27，那麼這334組的總和是27×334=9018，再加上還餘下的五個數，即為2009個數的總和了。
（1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038
例2．求2×2×…×2（2008個2相乘）+ 3×3×…×3（2009個3相乘）的個位數字
解析：要想求和的個位數字，關鍵是要求出每個加數的個位數字。
（1）先觀察下2×2×…×2（2008個2相乘）個位數的特點，看是否有周期性，若有，則可根據週期問題的方法來解答
2 個位數字是2
2×2 個位數字是4
2×2×2 個位數字是8
2×2×2×2 個位數字是6
2×2×2×2×2 個位數字是2
可見，個位數字是按2、4、8、6不斷迴圈重複，所以週期是4
2008÷4=502，沒餘數，個位數字就是最後一個：6
（ 2）同理，我們也可以找出3×3×…×3（2009個3相乘）個位數字的排列規律
3 個位數字是3
3×3 個位數字是9
3×3×3 個位數字是7
3×3×3×3 個位數字是1
3×3×3×3×3 個位數字是3
可見，個位數字是按3、9、7、1不斷迴圈重複出現，所以週期是4
2009÷4=502…1，餘數是1，個位數字就是週期裡面的第一個數，即3
所以，求2×2×…×2（2008個2相乘）+ 3×3×…×3（2009個3相乘）的個位數字，就是6+3的個位數字，即9
例3．2009個學生按下列方法編號排成五列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
…………………………
問最後一個學生應該在第幾列？
解析：仔細觀察，除了第一個學生外，其餘學生都是按這樣的次序排列的：二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、五、四、三、二、一 ……。按“二、三、四、五、四、三、二、一”不斷迴圈重複，所以週期是8
（2009-1）÷8=251，沒餘數，說明最後一個學生排在週期裡的最後一個數，即第一列
注意：週期可以是從第一個數開始不斷迴圈重複，也可以不從第一個數開始，當不是從第一個數開始迴圈重複時，我們一般先從總數中把不參與迴圈的數剔除掉，再除以週期，看餘數
例4．2009年9月8日是星期二
（1）2009年9月27日是星期幾？
（2）2009年12月25日是星期幾？
（3）2012年10月1日是星期幾？
解析：推算星期幾的題目，第一要知道週期；第二也是最重要的是要學會計算天數。第三推星期幾：總天數除以7，看餘數，餘幾就從當天往後推幾天。一週七天，不斷迴圈重複，週期是7。計算天數時，遵守以下幾個規律：①一個月之內的，尾減首就得天數②跨月的，先算整月再算零頭天數③跨年的，先算整年再算整月最後算零頭天數④有幾個常識要清楚：1、月：3、5、7、8、10、12月為大月，31天；4、6、9、11月為小月，30天；2月平年28天，閏年29天；年：平年365天，閏年：366天，四年一閏，一般情況下能被4整除的是閏年，下面的為例外：能被100整除的但不能被400整除的是平年，能被400整除的是閏年。
（1）屬一個月之內的。從9月8日到27日有 27-8=19天
19÷7=2（周）… 5（天）
從星期二往後推5天，就是星期日。
即2009年9月27日是星期日
（2）屬跨月的。
先算整月：9月8日至10月8日至11月8日至12月8日，三個月共 30+31+30=91（天）
再算零頭：12月8日至12月25日有 25-8=17天
所以，共有91+17=108（天）
108÷7=15（周）… 3（天）
從星期二往後推三天，就是星期五
即2009年12月25日是星期五
（3）屬跨年的
先算整年：2009.9.8--2010.9.8--2011.9.8--2012.9.8 三年共365+365+366=1096天
再算整月:2012.9.8—2012.10.8 一個月 共 30天
最後算零頭: 2012.10.8—10.1 共8-1=7天
所以 共有 1096+30-7=1119天
1119÷7=159(周) … 6天
從星期二往後推六天，就是星期一
即2012年10月1日是星期一
例5．伸出你的左手，從大拇指開始，按大拇指、食指、中指、無名指、小指、無名指、中指、食指、大拇指、食指 … 的順序依次數數字：1、2、3、…，問：數到2009時，你數在哪個手指上？
解析：我們先看數字規律，找出週期來。大拇指、食指、中指、無名指、小指、無名指、中指、食指、大拇指、食指、… 8個迴圈重複一次，週期是8
2009÷8=251…1
餘幾就是一個週期中的第幾個。
所以，數到2009時，正好數到大拇指的位置上。
例6．一列數1、2、4、7、11、16、22、29、… 。這列數左起第2009個數除以5的餘數是幾？
解析：由於是求餘數，因此找出這列數除以5的餘數規律是本題的關鍵。
1÷5 餘數是1
2÷5 餘數是2
4÷5 餘數是4
7÷5 餘數是2
11÷5 餘數是1
16÷5 餘數是1
22÷5 餘數是2
29÷5 餘數是4
從上可以看出餘數的排列規律是：按1、2、4、2、1、… 每隔這五個數迴圈重複出現，週期是5
2009÷5=401…4 餘數是幾就是一個週期中的第幾個數
所以，第2009個數除以5的餘數是2。
小結：解答週期性問題，需要我們具有較強的觀察能力，能從數字變化中找出它的週期性變化規律。找週期是關鍵，找週期的方法往往從出發位置開始，看經過多少步以後又回到起始位置。對於一些較複雜的問題，我們可以藉助畫示意圖或列舉部分數字等方法幫助尋找週期。
在日常生活中，有一些現象按照一定的規律不斷重複出現，比如每週七天，從星期一開始，到星期日結束，總是以七天為一個迴圈不斷重複出現。我們把這種會重複出現的規律性問題稱為週期問題。
要解決這類問題，關鍵要抓住兩點：
①找出規律，找出週期。即多少個（次）又出現重複
②用總量除以週期，看餘數，餘幾就是週期裡的第幾個，沒有餘數就是最後一個。
例1．有一列數，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、
（1）第2009個數是多少？
（2）這列數字中，“2”會出現多少次
（3）這2009個數相加的和是多少？
解析：仔細觀察，這2009個數不是隨意排列的，每六個數重複一次，按1、4、2、8、5、7一個迴圈依次不斷重複出現排列的。週期找到了，接著用總量除以週期，把餘數與週期對比，很容易解答問題。
（1） 2009÷6=334…5，即重複了334次，還餘5個數，分別是1、4、2、8、5。所以第2009個數就是5
（2）（1、4、2、8、5、7）重複了334次，“2”也就出現了334次，再加上餘下的五個數中，“2”又出現了一次，所以，數字“2”總共出現了335次
（3）我們把2009個數按每一組（1、4、2、8、5、7）這樣分組，可以分成334組，還剩5個數，334組的數都相同，每組的和=1+4+2+8+5+7=27，那麼這334組的總和是27×334=9018，再加上還餘下的五個數，即為2009個數的總和了。
（1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038
例2．求2×2×…×2（2008個2相乘）+ 3×3×…×3（2009個3相乘）的個位數字
解析：要想求和的個位數字，關鍵是要求出每個加數的個位數字。
（1）先觀察下2×2×…×2（2008個2相乘）個位數的特點，看是否有周期性，若有，則可根據週期問題的方法來解答
2 個位數字是2
2×2 個位數字是4
2×2×2 個位數字是8
2×2×2×2 個位數字是6
2×2×2×2×2 個位數字是2
可見，個位數字是按2、4、8、6不斷迴圈重複，所以週期是4
2008÷4=502，沒餘數，個位數字就是最後一個：6
（ 2）同理，我們也可以找出3×3×…×3（2009個3相乘）個位數字的排列規律
3 個位數字是3
3×3 個位數字是9
3×3×3 個位數字是7
3×3×3×3 個位數字是1
3×3×3×3×3 個位數字是3
可見，個位數字是按3、9、7、1不斷迴圈重複出現，所以週期是4
2009÷4=502…1，餘數是1，個位數字就是週期裡面的第一個數，即3
所以，求2×2×…×2（2008個2相乘）+ 3×3×…×3（2009個3相乘）的個位數字，就是6+3的個位數字，即9
例3．2009個學生按下列方法編號排成五列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
…………………………
問最後一個學生應該在第幾列？
解析：仔細觀察，除了第一個學生外，其餘學生都是按這樣的次序排列的：二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、五、四、三、二、一 ……。按“二、三、四、五、四、三、二、一”不斷迴圈重複，所以週期是8
（2009-1）÷8=251，沒餘數，說明最後一個學生排在週期裡的最後一個數，即第一列
注意：週期可以是從第一個數開始不斷迴圈重複，也可以不從第一個數開始，當不是從第一個數開始迴圈重複時，我們一般先從總數中把不參與迴圈的數剔除掉，再除以週期，看餘數
例4．2009年9月8日是星期二
（1）2009年9月27日是星期幾？
（2）2009年12月25日是星期幾？
（3）2012年10月1日是星期幾？
解析：推算星期幾的題目，第一要知道週期；第二也是最重要的是要學會計算天數。第三推星期幾：總天數除以7，看餘數，餘幾就從當天往後推幾天。一週七天，不斷迴圈重複，週期是7。計算天數時，遵守以下幾個規律：①一個月之內的，尾減首就得天數②跨月的，先算整月再算零頭天數③跨年的，先算整年再算整月最後算零頭天數④有幾個常識要清楚：1、月：3、5、7、8、10、12月為大月，31天；4、6、9、11月為小月，30天；2月平年28天，閏年29天；年：平年365天，閏年：366天，四年一閏，一般情況下能被4整除的是閏年，下面的為例外：能被100整除的但不能被400整除的是平年，能被400整除的是閏年。
（1）屬一個月之內的。從9月8日到27日有 27-8=19天
19÷7=2（周）… 5（天）
從星期二往後推5天，就是星期日。
即2009年9月27日是星期日
（2）屬跨月的。
先算整月：9月8日至10月8日至11月8日至12月8日，三個月共 30+31+30=91（天）
再算零頭：12月8日至12月25日有 25-8=17天
所以，共有91+17=108（天）
108÷7=15（周）… 3（天）
從星期二往後推三天，就是星期五
即2009年12月25日是星期五
（3）屬跨年的
先算整年：2009.9.8--2010.9.8--2011.9.8--2012.9.8 三年共365+365+366=1096天
再算整月:2012.9.8—2012.10.8 一個月 共 30天
最後算零頭: 2012.10.8—10.1 共8-1=7天
所以 共有 1096+30-7=1119天
1119÷7=159(周) … 6天
從星期二往後推六天，就是星期一
即2012年10月1日是星期一
例5．伸出你的左手，從大拇指開始，按大拇指、食指、中指、無名指、小指、無名指、中指、食指、大拇指、食指 … 的順序依次數數字：1、2、3、…，問：數到2009時，你數在哪個手指上？
解析：我們先看數字規律，找出週期來。大拇指、食指、中指、無名指、小指、無名指、中指、食指、大拇指、食指、… 8個迴圈重複一次，週期是8
2009÷8=251…1
餘幾就是一個週期中的第幾個。
所以，數到2009時，正好數到大拇指的位置上。
例6．一列數1、2、4、7、11、16、22、29、… 。這列數左起第2009個數除以5的餘數是幾？
解析：由於是求餘數，因此找出這列數除以5的餘數規律是本題的關鍵。
1÷5 餘數是1
2÷5 餘數是2
4÷5 餘數是4
7÷5 餘數是2
11÷5 餘數是1
16÷5 餘數是1
22÷5 餘數是2
29÷5 餘數是4
從上可以看出餘數的排列規律是：按1、2、4、2、1、… 每隔這五個數迴圈重複出現，週期是5
2009÷5=401…4 餘數是幾就是一個週期中的第幾個數
所以，第2009個數除以5的餘數是2。
小結：解答週期性問題，需要我們具有較強的觀察能力，能從數字變化中找出它的週期性變化規律。找週期是關鍵，找週期的方法往往從出發位置開始，看經過多少步以後又回到起始位置。對於一些較複雜的問題，我們可以藉助畫示意圖或列舉部分數字等方法幫助尋找週期。